INTRODUCCIÓN HISTÓRICA
INTRODUCCIÓN:
Desde sus orígenes, el hombre ha tratado de comunicarse mediante grafismos o dibujos. Las primeras representaciones que conocemos son las pinturas rupestres, en ellas no solo se intentaba representar la realidad que le rodeaba, animales, astros, al propio ser humano, etc., sino también sensaciones, como la alegría de las danzas, o la tensión de las cacerías.
A lo largo de la historia, este ansia de comunicarse mediante dibujos, ha evolucionado, dando lugar por un lado al dibujo artístico y por otro al dibujo técnico. Mientras el primero intenta comunicar ideas y sensaciones, basándose en la sugerencia y estimulando la imaginación del espectador, el dibujo técnico, tiene como fin, la representación de los objetos lo más exactamente posible, en forma y dimensiones.
Hoy en día, se está produciendo una confluencia entre los objetivos del dibujo artístico y técnico. Esto es consecuencia de la utilización de los ordenadores en el dibujo técnico, con ellos se obtienen recreaciones virtuales en 3D, que si bien representan los objetos en verdadera magnitud y forma, también conllevan una fuerte carga de sugerencia para el espectador.
Imagen generada con 3DStudio 4 ãBLL.
EL DIBUJO TÉCNICO EN LA ANTIGÜEDAD:
La primera manifestación del dibujo técnico, data del año 2450 antes de Cristo, en un dibujo de construcción que aparece esculpido en la estatua del rey sumerio Gudea, llamada El arquitecto, y que se encuentra en el museo del Louvre de París. En dicha escultura, de forma esquemática, se representan los planos de un edificio.
Del año 1650 a.C. data el papiro de Ahmes. Este escriba egipcio, redactó, en un papiro de de 33 por 548 cm., una exposición de contenido geométrico dividida en cinco partes que abarcan: la aritmética, la esteorotomía, la geometría y el cálculo de pirámides. En este papiro se llega a dar valor aproximado al numero p.
En el año 600 a.C., encontramos a Tales, filósofo griego nacido en Mileto. Fue el fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Tenía conocimientos en todas las ciencias, pero llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía, después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 a.C.. Se dice de él que introdujo la geometría en Grecia, ciencia que aprendió en Egipto. Sus conocimientos, le sirvieron para descubrir importantes propiedades geométricas. Tales no dejó escritos; el conocimiento que se tiene de él, procede de lo que se cuenta en la metafísica de Aristóteles.
Del mismo siglo que Tales, es Pitágoras, filósofo griego, cuyas doctrinas influyeron en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímedes. Fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. A dicha escuela se le atribuye el estudio y trazado de los tres primeros poliedros regulares: tetraedro, hexaedro y octaedro. Pero quizás su contribución más conocida en el campo de la geometría es el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que "en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".
En el año 300 a.C., encontramos a Euclides, matemático griego. Su obra principal "Elementos de geometría", es un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como: geometría plana, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio. Probablemente estudio en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría, y allí fundó una escuela de matemáticas.
Arquímedes (287-212 a.C.), notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica. Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. Inventó formas de medir el área de figuras curvas, así como la superficie y el volumen de sólidos limitados limitados por superficies curvas. Demostró que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi (p), la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un circulo, y estableció que este número estaba en 3 10/70 y 3 10/71.
Apolonio de Perga, matemático griego, llamado el "Gran Geómetra", que vivió durante los últimos años del siglo III y principios del siglo II a.C. Nació en Perga, Panfilia (hoy Turquía). Su mayor aportación a la geometría fue el estudio de las curcas cónicas, que reflejó en su Tratado de las cónicas, que en un principio estaba compuesto por ocho libros.
EL DIBUJO TÉCNICO EN LA ERA MODERNA:
Es durante el Renacimiento, cuando las representaciones técnicas, adquieren una verdadera madurez, son el caso de los trabajos del arquitecto Brunelleschi, los dibujos de Leonardo de Vinci, y tantos otros. Pero no es, hasta bien entrado el siglo XVIII, cuando se produce un significativo avance en las representaciones técnicas.
Uno de los grandes avances, se debe al matemático francés Gaspard Monge (1746-1818). Nació en Beaune y estudió en las escuelas de Beaune y Lyon, y en la escuela militar de Mézières. A los 16 años fue nombrado profesor de física en Lyon, cargo que ejerció hasta 1765. Tres años más tarde fue profesor de matemáticas y en 1771 profesor de física en Mézières. Contribuyó a fundar la Escuela Politécnica en 1794, en la que dio clases de geometría descriptiva durante más de diez años. Es considerado el inventor de la geometría descriptiva. La geometría descriptiva es la que nos permite representar sobre una superficie bidimensional, las superficies tridimensionales de los objetos. Hoy en día existen diferentes sistemas de representación, que sirven a este fin, como la perspectiva cónica, el sistema de planos acotados, etc. pero quizás el más importante es el sistema diédrico, que fue desarrollado por Monge en su primera publicación en el año 1799. Finalmente cave mencionar al francés Jean Victor Poncelet (1788-1867). A él se debe a introducción en la geometría del concepto de infinito, que ya había sido incluido en matemáticas. En la geometría de Poncellet, dos rectas, o se cortan o se cruzan, pero no pueden ser paralelas, ya que se cortarían en el infinito. El desarrollo de esta nueva geometría, que él denominó proyectiva, lo plasmó en su obra "Traité des propietés projectivas des figures" en 1822.
La última gran aportación al dibujo técnico, que lo ha definido, tal y como hoy lo conocemos, ha sido la normalización. Podemos definirla como "el conjunto de reglas y preceptos aplicables al diseño y fabricación de ciertos productos". Si bien, ya las civilizaciones caldea y egipcia utilizaron este concepto para la fabricación de ladrillos y piedras, sometidos a unas dimensiones preestablecidas, es a finales del siglo XIX en plena Revolución Industrial, cuando se empezó a aplicar el concepto de norma, en la representación de planos y la fabricación de piezas. Pero fue durante la 1ª Guerra Mundial, ante la necesidad de abastecer a los ejércitos, y reparar los armamentos, cuando la normalización adquiere su impulso definitivo, con la creación en Alemania en 1917, del Comité Alemán de Normalización.
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sábado, 12 de abril de 2008
CLASIFICACIÓN DE LOS TIPOS DE DIBUJOS TÉCNICOS:
Veremos en este apartado la clasificación de los distintos tipos de dibujos técnicos según la norma DIN 199. Aclaramos que la utilización de una norma extranjera se debe únicamente a la carencia de una norma española equivalente.
La norma DIN 199 clasifica los dibujos técnicos atendiendo a los siguientes criterios:
- Objetivo del dibujo
- Forma de confección del dibujo.
- Contenido.
- Destino.Clasificación de los dibujos según su objetivo:
- Croquis: Representación a mano alzada respetando las proporciones de los objetos.
- Dibujo: Representación a escala con todos los datos necesarios para definir el objeto.
- Plano: Representación de los objetos en relación con su posición o la función que cumplen. - Gráficos, Diagramas y Ábacos: Representación gráfica de medidas, valores, de procesos de trabajo, etc.
Mediante líneas o superficies. Sustituyen de forma clara y resumida a tablas numéricas, resultados de ensayos,
procesos matemáticos, físicos, etc.Clasificación de los dibujos según la forma de confección:
- Dibujo a lápiz: Cualquiera de los dibujos anteriores realizados a lápiz.
- Dibujo a tinta: Ídem, pero ejecutado a tinta.
- Original: El dibujo realizado por primera vez y, en general, sobre papel traslúcido.
- Reproducción: Copia de un dibujo original, obtenida por cualquier procedimiento. Constituyen los dibujos utilizados en la práctica diaria, pues los originales son normalmente conservados y archivados cuidadosamente, tomándose además las medidas de seguridad convenientes.Clasificación de los dibujos según su contenido:
- Dibujo general o de conjunto: Representación de una máquina, instrumento, etc., en su totalidad.
- Dibujo de despiece: Representación detallada e individual de cada uno de los elementos y piezas no normalizadas que constituyen un conjunto.
- Dibujo de grupo: Representación de dos o más piezas, formando un subconjunto o unidad de construcción.
- Dibujo de taller o complementario: Representación complementaria de un dibujo, con indicación de detalles auxiliares para simplificar representaciones repetidas.
- Dibujo esquemático o esquema: Representación simbólica de los elementos de una máquina o instalación.
Clasificación de los dibujos según su destino:
- Dibujo de taller o de fabricación: Representación destinada a la fabricación de una pieza, conteniendo todos los datos necesarios para dicha fabricación.
- Dibujo de mecanización: Representación de una pieza con los datos necesarios para efectuar ciertas operaciones del proceso de fabricación.
Se utilizan en fabricaciones complejas, sustituyendo a los anteriores.
- Dibujo de montaje: Representación que proporciona los datos necesarios para el montaje de los distintos subconjuntos y conjuntos que constituyen una máquina, instrumento, dispositivo, etc.
- Dibujo de clases: Representación de objetos que sólo se diferencian en las dimensiones.
- Dibujo de ofertas, de pedido, de recepción: Representaciones destinadas a las funciones mencionadas.
Gracias a Luis Antonio Rodríguez Romero
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Veremos en este apartado la clasificación de los distintos tipos de dibujos técnicos según la norma DIN 199. Aclaramos que la utilización de una norma extranjera se debe únicamente a la carencia de una norma española equivalente.
La norma DIN 199 clasifica los dibujos técnicos atendiendo a los siguientes criterios:
- Objetivo del dibujo
- Forma de confección del dibujo.
- Contenido.
- Destino.Clasificación de los dibujos según su objetivo:
- Croquis: Representación a mano alzada respetando las proporciones de los objetos.
- Dibujo: Representación a escala con todos los datos necesarios para definir el objeto.
- Plano: Representación de los objetos en relación con su posición o la función que cumplen. - Gráficos, Diagramas y Ábacos: Representación gráfica de medidas, valores, de procesos de trabajo, etc.
Mediante líneas o superficies. Sustituyen de forma clara y resumida a tablas numéricas, resultados de ensayos,
procesos matemáticos, físicos, etc.Clasificación de los dibujos según la forma de confección:
- Dibujo a lápiz: Cualquiera de los dibujos anteriores realizados a lápiz.
- Dibujo a tinta: Ídem, pero ejecutado a tinta.
- Original: El dibujo realizado por primera vez y, en general, sobre papel traslúcido.
- Reproducción: Copia de un dibujo original, obtenida por cualquier procedimiento. Constituyen los dibujos utilizados en la práctica diaria, pues los originales son normalmente conservados y archivados cuidadosamente, tomándose además las medidas de seguridad convenientes.Clasificación de los dibujos según su contenido:
- Dibujo general o de conjunto: Representación de una máquina, instrumento, etc., en su totalidad.
- Dibujo de despiece: Representación detallada e individual de cada uno de los elementos y piezas no normalizadas que constituyen un conjunto.
- Dibujo de grupo: Representación de dos o más piezas, formando un subconjunto o unidad de construcción.
- Dibujo de taller o complementario: Representación complementaria de un dibujo, con indicación de detalles auxiliares para simplificar representaciones repetidas.
- Dibujo esquemático o esquema: Representación simbólica de los elementos de una máquina o instalación.
Clasificación de los dibujos según su destino:
- Dibujo de taller o de fabricación: Representación destinada a la fabricación de una pieza, conteniendo todos los datos necesarios para dicha fabricación.
- Dibujo de mecanización: Representación de una pieza con los datos necesarios para efectuar ciertas operaciones del proceso de fabricación.
Se utilizan en fabricaciones complejas, sustituyendo a los anteriores.
- Dibujo de montaje: Representación que proporciona los datos necesarios para el montaje de los distintos subconjuntos y conjuntos que constituyen una máquina, instrumento, dispositivo, etc.
- Dibujo de clases: Representación de objetos que sólo se diferencian en las dimensiones.
- Dibujo de ofertas, de pedido, de recepción: Representaciones destinadas a las funciones mencionadas.
Gracias a Luis Antonio Rodríguez Romero
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TRIÁNGULOS
DEFINICÓN, NOMENCLATURA, CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES
DEFINICIÓN:
El triángulo es el polígono de menor número de lados, y a pesar de ello es el más importante, tanto por la gran cantidad de construcciones que se pueden plantear, como por tratarse de la figura que servirá de base para la construcción de otras más complejas, tanto planas como espaciales.
Se define como la porción de plano delimitada por tres rectas que se cortan dos a dos, o como la porción común de tres semiplanos pertenecientes a un mismo plano.
NOMENCLATURA:
En la figura siguiente se puede apreciar la nomenclatura a utilizar, para designar los diferentes elementos de un triángulo.
Los vértices se designarán mediante letras mayúsculas, y los ángulos correspondientes, mediante la misma letra mayúscula, pero con acento circunflejo, o un pequeño ángulo sobre la letra. Los lados se designarán mediante la misma letra del vértice opuesto, pero en minúscula. El orden de las letras será el inverso a las agujas del reloj, y cuando se trate de triángulos rectángulos, la hipotenusa se designará con la letra "a".
CLASIFICACIÓN:
Los triángulos se clasifican en función de la longitud de sus lados, o del valor de sus tres ángulos internos.
Teniendo en cuenta la lóngitud de sus lados, los triángunos se denominan: Equiláteros si tienen sus tres lados iguales, Isósceles si tienen dos lados iguales y uno desigual, y Escalenos si tienen los tres lados desiguales.
Teniendo en cuenta el valor de sus tres ángulos internos, los triángunos se denominan: Acutángulos si tienen sus tres ángulos agudos, Rectángulos si tienen un ángulo recto, y obtusángulos si tienen un ángulo obstuso.
PROPIEDADES:
1. Los ángulos interiores de un triángulo, siempre suman 180º.Como consecuencia de esta propiedad, se cumple que:-Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso o recto.-En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos suman 90º.-Un ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes.
2. Cualquier lado de un triángulo, es menor que la suma de los otros dos, y mayor que su diferencia.
3. En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales.
4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.
5. Si los tres lados de un triángulo son iguales, y por consiguiente sus ángulos, el triángulo es regular, y se denomina isósceles.
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DEFINICÓN, NOMENCLATURA, CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES
DEFINICIÓN:
El triángulo es el polígono de menor número de lados, y a pesar de ello es el más importante, tanto por la gran cantidad de construcciones que se pueden plantear, como por tratarse de la figura que servirá de base para la construcción de otras más complejas, tanto planas como espaciales.
Se define como la porción de plano delimitada por tres rectas que se cortan dos a dos, o como la porción común de tres semiplanos pertenecientes a un mismo plano.
NOMENCLATURA:
En la figura siguiente se puede apreciar la nomenclatura a utilizar, para designar los diferentes elementos de un triángulo.
Los vértices se designarán mediante letras mayúsculas, y los ángulos correspondientes, mediante la misma letra mayúscula, pero con acento circunflejo, o un pequeño ángulo sobre la letra. Los lados se designarán mediante la misma letra del vértice opuesto, pero en minúscula. El orden de las letras será el inverso a las agujas del reloj, y cuando se trate de triángulos rectángulos, la hipotenusa se designará con la letra "a".
CLASIFICACIÓN:
Los triángulos se clasifican en función de la longitud de sus lados, o del valor de sus tres ángulos internos.
Teniendo en cuenta la lóngitud de sus lados, los triángunos se denominan: Equiláteros si tienen sus tres lados iguales, Isósceles si tienen dos lados iguales y uno desigual, y Escalenos si tienen los tres lados desiguales.
Teniendo en cuenta el valor de sus tres ángulos internos, los triángunos se denominan: Acutángulos si tienen sus tres ángulos agudos, Rectángulos si tienen un ángulo recto, y obtusángulos si tienen un ángulo obstuso.
PROPIEDADES:
1. Los ángulos interiores de un triángulo, siempre suman 180º.Como consecuencia de esta propiedad, se cumple que:-Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso o recto.-En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos suman 90º.-Un ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes.
2. Cualquier lado de un triángulo, es menor que la suma de los otros dos, y mayor que su diferencia.
3. En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales.
4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.
5. Si los tres lados de un triángulo son iguales, y por consiguiente sus ángulos, el triángulo es regular, y se denomina isósceles.
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ELEMENTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
MEDIATRICES Y CIRCUNCENTRO:
Si trazamos las mediatrices de los tres lados de un triángulo, estas se cortarán en un mismo punto, que se demomina Circuncentro(Oc), y que resulta ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
BISECTRICES, INCENTRO Y EXICENTRO :
Si trazamos las bisectrices de los tres ángulos internos de un triángulo, estas se cortarán en un mismo punto, que se denomina Incentro(Oi), y que resulta ser el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Si trazamos las bisectrices de los ángulos formados por un lado y la prolongación de los otros dos, ambas bisectrices se cortan en un punto, por el que también pasa la bisectriz del ángulo interno, opuesto al lado elegido, dicho punto se denomina Exicentro(Oe), y que resulta ser el centro de una circunferencia tangente exterior al triángulo. Según la pareja de lados del triángulo que se prolonguen, podremos obtener hasta tres Exicentros.
ALTURAS, ORTOCENTRO Y TRIÁNGULO ÓRTICO:
Las Alturas de un triángulo, son las tangentes trazadas desde cada vértice al lado opuesto, o su prolongación.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto, que se denomina Ortocentro(Oo). El triángulo resultante de unir las tres bases de las alturas (Ha,Hb,Hc), se denomina triángulo órtico, y el Ortocentro(Oo) resulta ser el incentro de dicho triángulo órtico.
Si por cada unos de los vértices de un triángulo, trazamos rectas paralelas al lado opuesto, dichas rectas determinan un triángulo, que se denomina triángulo circunscrito del dado, siendo ambos triángulos semejantes, y como vemos en la figura, el Ortocencentro(Oo) del triángulo dado es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo circunscrito.
MEDIANAS Y BARICENTRO:
Las medianas de un triángulo, son las rectas que unen cada vértice con el centro del lado opuesto.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto, que se denomina Baricentro(Ob). El segmento de mediana que va desde cada vértice al baricentro es 2/3 de la mediana, y en consecuencia, el segmento de mediana restante será 1/3 de la misma.
Si por los pies de las medianas, trazamos rectas paralelas a las otras dos medianas, veremos como se dibuja un hexágono. Dicho hexágono está compuesto por seis triángulos, cuyos lados son 1/3 de cada mediana.
SEGMENTO Y CIRCUNFERENCIA DE EULER O FEUERBACH:
En todo triángulo, el Ortocentro, el Baricentro y el Circuncentro están alineados, y el segmento que definen se denomina segmento de Euler.
El centro del Segmento de Euler, es el centro(Oe) de la Circunferencia de Euler. La Circunferencia de Euler tiene la propiedad de pasar por nueve puntos:
- Los 3 pies de las alturas
- Los 3 pies de las mediatrices de los lados
- Los 3 puntos medios de los segmentos A-Oo, B-Oo y C-Oo
RECTA DE SIMPSON:
Las Rectas de Simpson son las rectas que une los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita, a los tres lados del triángulo o sus prolongaciones.
CIRCUNFERENCIA DE TAYLOR:
La Circuferencia de Taylor es la circunferencia que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas desde los pies de las alturas a los lados del triángulo. Y es una circunferencia de Tucker.
TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN:
Dado un triángulo cualquiera ABC, si construimos los triángulos equiláteros exteriores, cuyas bases sean los lados de dicho triángulo, los centros de esos tres triángulosa 1-2-3, serán los vértices del triángulo de Napoleón exterior.
Si sobre ese mismo triángulo construimos los triángulos equiláteros interiores, cuyas bases sean los lados de dicho triángulo, los centros de esos tres triángulos 1'-2'-3', serán los vértices del triángulo de Napoleón interior.
Los dos triángulos de Napoleón son triángulos equiláteros, y se cumple que la diferencia entre sus áreas, es igual al área del triángulo base ABC.
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MEDIATRICES Y CIRCUNCENTRO:
Si trazamos las mediatrices de los tres lados de un triángulo, estas se cortarán en un mismo punto, que se demomina Circuncentro(Oc), y que resulta ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
BISECTRICES, INCENTRO Y EXICENTRO :
Si trazamos las bisectrices de los tres ángulos internos de un triángulo, estas se cortarán en un mismo punto, que se denomina Incentro(Oi), y que resulta ser el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Si trazamos las bisectrices de los ángulos formados por un lado y la prolongación de los otros dos, ambas bisectrices se cortan en un punto, por el que también pasa la bisectriz del ángulo interno, opuesto al lado elegido, dicho punto se denomina Exicentro(Oe), y que resulta ser el centro de una circunferencia tangente exterior al triángulo. Según la pareja de lados del triángulo que se prolonguen, podremos obtener hasta tres Exicentros.
ALTURAS, ORTOCENTRO Y TRIÁNGULO ÓRTICO:
Las Alturas de un triángulo, son las tangentes trazadas desde cada vértice al lado opuesto, o su prolongación.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto, que se denomina Ortocentro(Oo). El triángulo resultante de unir las tres bases de las alturas (Ha,Hb,Hc), se denomina triángulo órtico, y el Ortocentro(Oo) resulta ser el incentro de dicho triángulo órtico.
Si por cada unos de los vértices de un triángulo, trazamos rectas paralelas al lado opuesto, dichas rectas determinan un triángulo, que se denomina triángulo circunscrito del dado, siendo ambos triángulos semejantes, y como vemos en la figura, el Ortocencentro(Oo) del triángulo dado es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo circunscrito.
MEDIANAS Y BARICENTRO:
Las medianas de un triángulo, son las rectas que unen cada vértice con el centro del lado opuesto.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto, que se denomina Baricentro(Ob). El segmento de mediana que va desde cada vértice al baricentro es 2/3 de la mediana, y en consecuencia, el segmento de mediana restante será 1/3 de la misma.
Si por los pies de las medianas, trazamos rectas paralelas a las otras dos medianas, veremos como se dibuja un hexágono. Dicho hexágono está compuesto por seis triángulos, cuyos lados son 1/3 de cada mediana.
SEGMENTO Y CIRCUNFERENCIA DE EULER O FEUERBACH:
En todo triángulo, el Ortocentro, el Baricentro y el Circuncentro están alineados, y el segmento que definen se denomina segmento de Euler.
El centro del Segmento de Euler, es el centro(Oe) de la Circunferencia de Euler. La Circunferencia de Euler tiene la propiedad de pasar por nueve puntos:
- Los 3 pies de las alturas
- Los 3 pies de las mediatrices de los lados
- Los 3 puntos medios de los segmentos A-Oo, B-Oo y C-Oo
RECTA DE SIMPSON:
Las Rectas de Simpson son las rectas que une los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita, a los tres lados del triángulo o sus prolongaciones.
CIRCUNFERENCIA DE TAYLOR:
La Circuferencia de Taylor es la circunferencia que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas desde los pies de las alturas a los lados del triángulo. Y es una circunferencia de Tucker.
TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN:
Dado un triángulo cualquiera ABC, si construimos los triángulos equiláteros exteriores, cuyas bases sean los lados de dicho triángulo, los centros de esos tres triángulosa 1-2-3, serán los vértices del triángulo de Napoleón exterior.
Si sobre ese mismo triángulo construimos los triángulos equiláteros interiores, cuyas bases sean los lados de dicho triángulo, los centros de esos tres triángulos 1'-2'-3', serán los vértices del triángulo de Napoleón interior.
Los dos triángulos de Napoleón son triángulos equiláteros, y se cumple que la diferencia entre sus áreas, es igual al área del triángulo base ABC.
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POLÍGONOS REGULARES
CONSIDERACIONES GENERALES:
Un polígono se considera regular cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales, y por tanto puede ser inscrito y circunscrito en una circunferencia. El centro de dicha circunferencia se denomina centro del polígono, y equidista de los vértices y lados del mismo.
Se denomina ángulo central de un polígono regular el que tiene como vértice el centro del polígono, y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Su valor en grados resulta de dividir 360º entre el número de lados del polígono (ver figura).
Se denomina ángulo interior, al formado por dos lados consecutivos. Su valor es igual a 180º, menos el valor del ángulo central correspondiente.
Si unimos todos los vértices del polígono, de forma consecutiva, dando una sola vuelta a la circunferencia, el polígono obtenido se denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza, de forma que el polígono cierra después de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado. Se denomina falso estrellado aquel que resulta de construir varios polígonos convexos o estrellados iguales, girados un mismo ángulo, es el caso del falso estrellado del hexágono, compuesto por dos triángulos girados entre sí 60º.
Para averiguar si un polígono tiene construcción de estrellados, y como unir los vértices, buscaremos los números enteros, menores que la mitad del número de lados del polígono, y de ellos los que sean primos respeto a dicho número de lados. Por ejemplo: para el octógono (8 lados), los números menores que la mitad de sus lados son el 3, el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 8 solo tendremos el 3, por lo tanto podremos afirmar que el octógono tiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de 3 en 3 (ver figura).
En un polígono regular convexo, se denomina apotena a la distancia del centro del polígono al punto medio de cada lado (ver figura).
En un polígono regular convexo, se denomina perímetro a la suma de la longitud de todos sus lados.
El área de un polígono regular convexo, es igual al producto del semiperímetro por la apotema.
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CONSIDERACIONES GENERALES:
Un polígono se considera regular cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales, y por tanto puede ser inscrito y circunscrito en una circunferencia. El centro de dicha circunferencia se denomina centro del polígono, y equidista de los vértices y lados del mismo.
Se denomina ángulo central de un polígono regular el que tiene como vértice el centro del polígono, y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Su valor en grados resulta de dividir 360º entre el número de lados del polígono (ver figura).
Se denomina ángulo interior, al formado por dos lados consecutivos. Su valor es igual a 180º, menos el valor del ángulo central correspondiente.
Si unimos todos los vértices del polígono, de forma consecutiva, dando una sola vuelta a la circunferencia, el polígono obtenido se denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza, de forma que el polígono cierra después de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado. Se denomina falso estrellado aquel que resulta de construir varios polígonos convexos o estrellados iguales, girados un mismo ángulo, es el caso del falso estrellado del hexágono, compuesto por dos triángulos girados entre sí 60º.
Para averiguar si un polígono tiene construcción de estrellados, y como unir los vértices, buscaremos los números enteros, menores que la mitad del número de lados del polígono, y de ellos los que sean primos respeto a dicho número de lados. Por ejemplo: para el octógono (8 lados), los números menores que la mitad de sus lados son el 3, el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 8 solo tendremos el 3, por lo tanto podremos afirmar que el octógono tiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de 3 en 3 (ver figura).
En un polígono regular convexo, se denomina apotena a la distancia del centro del polígono al punto medio de cada lado (ver figura).
En un polígono regular convexo, se denomina perímetro a la suma de la longitud de todos sus lados.
El área de un polígono regular convexo, es igual al producto del semiperímetro por la apotema.
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CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADA LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA:
La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la división de dicha circunferencia en un número partes iguales. En ocasiones, el trazado pasa por la obtención de la cuerda correspondiente a cada uno de esos arcos, es decir el lado del polígono, y otras ocasiones pasa por la obtención del ángulo central del polígono correspondiente.
Cuando en una construcción obtenemos el lado del polígono, y hemos de llevarlo sucesivas veces a lo largo de la circunferencia, se aconseja no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia, sino, que partiendo de un vértice se lleve la mitad de los lados en una dirección y la otra mitad en sentido contrario, con objeto de minimizar los errores de construcción, inherentes al instrumental o al procedimiento.
TRIÁNGULO, HEXÁGONO Y DODECÁGONO (construcción exacta):
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4 respectivamente.
A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos determinarán, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por último con centro en B trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinará el punto C sobre la circunferencia dada.
Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el triángulo inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del dodecágono inscrito; para su total construcción solo tendríamos que llevar este lado, 12 veces sobre la circunferencia.
De los tres polígonos, solo el dodecágono admite la construcción de estrellados, concretamente del estrellado de 5. El hexágono admite la construcción de un falso estrellado, formado por dos triángulos girados entre sí 60º.NOTA: Todas las construcciones de este ejercicio se realizan con una misma abertura del compás, igual al radio de la circunferencia dada.
CUADRADO Y OCTÓGONO (construcción exacta):
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente.
A continuación, trazaremos las bisectrices de los cuatro ángulos de 90º, formados por la diagonales trazadas, dichas bisectrices nos determinarán sobre la circunferencia los puntos 2, 4, 6 y 8.
Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, obtendremos el cuadrado inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, obtendremos el octógono inscrito.
El cuadrado no admite estrellados. El octógono sí, concretamente el estrellado de 3. El octógono también admite la construcción de un falso estrellado, compuesto por dos cuadrados girados entre sí 45º.NOTA: De esta construcción podemos deducir, la forma de construir un polígono de doble número de lados que uno dado. Solo tendremos que trazar las bisectrices de los ángulos centrales del polígono dado, y estas nos determinarán, sobre la circunferencia circunscrita, los vértices necesarios para la construcción.
PENTÁGONO Y DECÁGONO (construcción exacta):
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán sobre la circunferencia dada los puntos A- B y 1-C respectivamente. Con el mismo radio de la circunferencia dada trazaremos un arco de centro en A, que nos determinará los puntos D y E sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos obtendremos el punto F, punto medio del radio A-O Con centro en F trazaremos un arco de radio F-1, que determinará el punto G sobre la diagonal A-B. La distancia 1-G es el lado de pentágono inscrito, mientras que la distancia O-G es el lado del decágono inscrito.
Para la construcción del pentágono y el decágono, solo resta llevar dichos lados, 5 y 10 veces respectivamente, a lo largo de la circunferencia.
El pentágono tiene estrellado de 2. El decágono tiene estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos pentágonos estrellados girados entre sí 36º.
HEPTÁGONO (construcción aproximada):
Comenzaremos trazando una diagonal de la circunferencia dada, que nos determinará sobre ella puntos A y B.
A continuación, con centro en A, trazaremos el arco de radio A-O, que nos determinará, sobre la circunferencia, los puntos 1 y C, uniendo dichos puntos obtendremos el punto D, punto medio del radio A-O. En 1-D habremos obtenido el lado del heptágono inscrito. Solo resta llevar dicho lado, 7 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptágono buscado. Como se indicaba al principio de este tema, partiendo del punto 1, se ha llevado dicho lado, tres veces en cada sentido de la circunferencia, para minimizar los errores de construcción.
El heptágono tiene estrellado de 3 y de 2. NOTA: Como puede apreciarse en la construcción, el lado del heptágono inscrito en una circunferencia, es igual a la mitad del lado del triángulo inscrito.
ENEÁGONO (construcción aproximada):
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-C respectivamente.
Con centro en A, trazaremos un arco de radio A-O, que nos determinará, sobre la circunferencia dada, el punto D. Con centro en B y radio B-D, trazaremos un arco de circunferencia, que nos determinará el punto E, sobre la prolongación de la diagonal 1-C. Por último con centro en E y radio E-B=E-A, trazaremos un arco de circunferencia que nos determinará el punto F sobre la diagonal C-1. En 1-F habremos obtenido el lado del eneágono inscrito en la circunferencia. Procediendo como en el caso del heptágono, llevaremos dicho lado, 9 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptágono buscado.
El eneágono tiene estrellado de 4 y de 2. También presenta un falso estrellado, formado por 3 triángulos girados entre sí 40º.
DECÁGONO (construcción exacta):
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-6 respectivamente.
Con centro A, y radio A-O, trazaremos un arco que nos determinará los puntos C y D sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos, obtendremos el punto E, punto medio del radio A-O. A continuación trazaremos la circunferencia de centro en E y radio E-O. Trazamos la recta 1-E, la cual intercepta a la circunferencia anterior en el punto F, siendo la distancia 1-F, el lado del decágono inscrito.
Procediendo con en el caso del heptágono, llevaremos dicho lado, 10 veces sobre la circunferencia, para obtener el decágono buscado.
El decágono como se indicó anteriormente presenta estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos pentágonos estrellados, girados entre sí 36º.
PENTADECÁGONO (construcción exacta):
Esta construcción se basa en la obtención del ángulo de 24º, correspondiente al ángulo interior del pentadecágono. Dicho ángulo lo obtendremos por diferencia del ángulo de 60º, ángulo interior del hexágono inscrito, y el ángulo de 36º, ángulo interior del decágono inscrito.
Comenzaremos con las construcciones necesarias para la obtención del lado del decágono (las del ejercicio anterior), hasta la obtención del punto H de la figura.
A continuación, con centro en C trazaremos un arco de radio C-H, que nos determirá sobre la circunferencia el punto 1. de nuevo con centro en C, trazaremos un arco de radio C-O, que nos determinará el punto 2 sobre la circunferencia.
Como puede apreciarse en la figura, el ángulo CO1 corresponde al ángulo interior del decágono, de 36º, y el ángulo CO2 corresponde al ángulo interior del hexágono, de 60º, luego de su diferencia obtendremos el ángulo 1O2 de 24º, ángulo interior del pentadecágono buscado, siendo el segmento 1-2 el lado del polígono. Solo resta llevar, por el procedimiento ya explicado, dicho lado, 15 veces sobre la circunferencia dada.
El pentadecágono presenta estrellado de 7, 6, 4 y 2, así como tres falsos estrellados, compuesto por: tres pentágonos convexos, tres pentágonos estrellados y 5 triángulos, girados entre sí, en todos los casos, 24º.
PROCEDIMIENTO GENERAL (construcción aproximada):
Este procedimiento se utilizará solo cuando el polígono buscado no tenga una construcción particular, ni pueda obtenerse como múltiplo de otro, dado que este procedimiento lleva inherente una gran imprecisión.
Comenzaremos con el trazado del diámetro A-B, que dividiremos, mediante el Teorema de Tales en tantas partes iguales como lados tenga el polígono que deseamos trazar, en nuestro caso 11. Con centro en A y B trazaremos dos arcos de radio A-B, los cuales se interceptarán en los puntos C y D. Uniendo dichos puntos con las divisiones alternadas del diámetro A-B, obtendremos sobre la circunferencia, los puntos P, Q, R, .. etc., vértices del polígono. Igualmentre se procedería con el punto D, uniendolo con los puntos 2, 4, etc., y obteniendo así el resto de los vértices del polígono. Solo restaría unir dichos puntos para obtener el polígono buscado.
Copyright © 2000-08 Bartolomé López Lucas. Todos los derechos reservados.Depósito legal: MU-257-2004. Cualquier comentario o sugerencia sobre este sitio puede ser enviado al webmaster.www.dibujotecnico.com
La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la división de dicha circunferencia en un número partes iguales. En ocasiones, el trazado pasa por la obtención de la cuerda correspondiente a cada uno de esos arcos, es decir el lado del polígono, y otras ocasiones pasa por la obtención del ángulo central del polígono correspondiente.
Cuando en una construcción obtenemos el lado del polígono, y hemos de llevarlo sucesivas veces a lo largo de la circunferencia, se aconseja no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia, sino, que partiendo de un vértice se lleve la mitad de los lados en una dirección y la otra mitad en sentido contrario, con objeto de minimizar los errores de construcción, inherentes al instrumental o al procedimiento.
TRIÁNGULO, HEXÁGONO Y DODECÁGONO (construcción exacta):
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4 respectivamente.
A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos determinarán, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por último con centro en B trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinará el punto C sobre la circunferencia dada.
Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el triángulo inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del dodecágono inscrito; para su total construcción solo tendríamos que llevar este lado, 12 veces sobre la circunferencia.
De los tres polígonos, solo el dodecágono admite la construcción de estrellados, concretamente del estrellado de 5. El hexágono admite la construcción de un falso estrellado, formado por dos triángulos girados entre sí 60º.NOTA: Todas las construcciones de este ejercicio se realizan con una misma abertura del compás, igual al radio de la circunferencia dada.
CUADRADO Y OCTÓGONO (construcción exacta):
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente.
A continuación, trazaremos las bisectrices de los cuatro ángulos de 90º, formados por la diagonales trazadas, dichas bisectrices nos determinarán sobre la circunferencia los puntos 2, 4, 6 y 8.
Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, obtendremos el cuadrado inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, obtendremos el octógono inscrito.
El cuadrado no admite estrellados. El octógono sí, concretamente el estrellado de 3. El octógono también admite la construcción de un falso estrellado, compuesto por dos cuadrados girados entre sí 45º.NOTA: De esta construcción podemos deducir, la forma de construir un polígono de doble número de lados que uno dado. Solo tendremos que trazar las bisectrices de los ángulos centrales del polígono dado, y estas nos determinarán, sobre la circunferencia circunscrita, los vértices necesarios para la construcción.
PENTÁGONO Y DECÁGONO (construcción exacta):
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán sobre la circunferencia dada los puntos A- B y 1-C respectivamente. Con el mismo radio de la circunferencia dada trazaremos un arco de centro en A, que nos determinará los puntos D y E sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos obtendremos el punto F, punto medio del radio A-O Con centro en F trazaremos un arco de radio F-1, que determinará el punto G sobre la diagonal A-B. La distancia 1-G es el lado de pentágono inscrito, mientras que la distancia O-G es el lado del decágono inscrito.
Para la construcción del pentágono y el decágono, solo resta llevar dichos lados, 5 y 10 veces respectivamente, a lo largo de la circunferencia.
El pentágono tiene estrellado de 2. El decágono tiene estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos pentágonos estrellados girados entre sí 36º.
HEPTÁGONO (construcción aproximada):
Comenzaremos trazando una diagonal de la circunferencia dada, que nos determinará sobre ella puntos A y B.
A continuación, con centro en A, trazaremos el arco de radio A-O, que nos determinará, sobre la circunferencia, los puntos 1 y C, uniendo dichos puntos obtendremos el punto D, punto medio del radio A-O. En 1-D habremos obtenido el lado del heptágono inscrito. Solo resta llevar dicho lado, 7 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptágono buscado. Como se indicaba al principio de este tema, partiendo del punto 1, se ha llevado dicho lado, tres veces en cada sentido de la circunferencia, para minimizar los errores de construcción.
El heptágono tiene estrellado de 3 y de 2. NOTA: Como puede apreciarse en la construcción, el lado del heptágono inscrito en una circunferencia, es igual a la mitad del lado del triángulo inscrito.
ENEÁGONO (construcción aproximada):
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-C respectivamente.
Con centro en A, trazaremos un arco de radio A-O, que nos determinará, sobre la circunferencia dada, el punto D. Con centro en B y radio B-D, trazaremos un arco de circunferencia, que nos determinará el punto E, sobre la prolongación de la diagonal 1-C. Por último con centro en E y radio E-B=E-A, trazaremos un arco de circunferencia que nos determinará el punto F sobre la diagonal C-1. En 1-F habremos obtenido el lado del eneágono inscrito en la circunferencia. Procediendo como en el caso del heptágono, llevaremos dicho lado, 9 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptágono buscado.
El eneágono tiene estrellado de 4 y de 2. También presenta un falso estrellado, formado por 3 triángulos girados entre sí 40º.
DECÁGONO (construcción exacta):
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-6 respectivamente.
Con centro A, y radio A-O, trazaremos un arco que nos determinará los puntos C y D sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos, obtendremos el punto E, punto medio del radio A-O. A continuación trazaremos la circunferencia de centro en E y radio E-O. Trazamos la recta 1-E, la cual intercepta a la circunferencia anterior en el punto F, siendo la distancia 1-F, el lado del decágono inscrito.
Procediendo con en el caso del heptágono, llevaremos dicho lado, 10 veces sobre la circunferencia, para obtener el decágono buscado.
El decágono como se indicó anteriormente presenta estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos pentágonos estrellados, girados entre sí 36º.
PENTADECÁGONO (construcción exacta):
Esta construcción se basa en la obtención del ángulo de 24º, correspondiente al ángulo interior del pentadecágono. Dicho ángulo lo obtendremos por diferencia del ángulo de 60º, ángulo interior del hexágono inscrito, y el ángulo de 36º, ángulo interior del decágono inscrito.
Comenzaremos con las construcciones necesarias para la obtención del lado del decágono (las del ejercicio anterior), hasta la obtención del punto H de la figura.
A continuación, con centro en C trazaremos un arco de radio C-H, que nos determirá sobre la circunferencia el punto 1. de nuevo con centro en C, trazaremos un arco de radio C-O, que nos determinará el punto 2 sobre la circunferencia.
Como puede apreciarse en la figura, el ángulo CO1 corresponde al ángulo interior del decágono, de 36º, y el ángulo CO2 corresponde al ángulo interior del hexágono, de 60º, luego de su diferencia obtendremos el ángulo 1O2 de 24º, ángulo interior del pentadecágono buscado, siendo el segmento 1-2 el lado del polígono. Solo resta llevar, por el procedimiento ya explicado, dicho lado, 15 veces sobre la circunferencia dada.
El pentadecágono presenta estrellado de 7, 6, 4 y 2, así como tres falsos estrellados, compuesto por: tres pentágonos convexos, tres pentágonos estrellados y 5 triángulos, girados entre sí, en todos los casos, 24º.
PROCEDIMIENTO GENERAL (construcción aproximada):
Este procedimiento se utilizará solo cuando el polígono buscado no tenga una construcción particular, ni pueda obtenerse como múltiplo de otro, dado que este procedimiento lleva inherente una gran imprecisión.
Comenzaremos con el trazado del diámetro A-B, que dividiremos, mediante el Teorema de Tales en tantas partes iguales como lados tenga el polígono que deseamos trazar, en nuestro caso 11. Con centro en A y B trazaremos dos arcos de radio A-B, los cuales se interceptarán en los puntos C y D. Uniendo dichos puntos con las divisiones alternadas del diámetro A-B, obtendremos sobre la circunferencia, los puntos P, Q, R, .. etc., vértices del polígono. Igualmentre se procedería con el punto D, uniendolo con los puntos 2, 4, etc., y obteniendo así el resto de los vértices del polígono. Solo restaría unir dichos puntos para obtener el polígono buscado.
Copyright © 2000-08 Bartolomé López Lucas. Todos los derechos reservados.Depósito legal: MU-257-2004. Cualquier comentario o sugerencia sobre este sitio puede ser enviado al webmaster.www.dibujotecnico.com
CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL LADO DEL CONVEXO, EL LADO DEL ESTRELLADO O LA DISTANCIA ENTRE CARAS
PENTÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta):
Dividiendo el lado del pentágono en media y extrema razón, obtendremos la diagonal del pentágono buscado, solo restará construirlo por simple triangulación.
Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado, con centro en 2 trazaremos un arco de radio 1-2, que nos determinará sobre la perpendicular anterior el punto A, y trazaremos la mediatriz del segmento A-2, que nos determinará su punto medio B.
A continuación, con centro en B, trazaremos la circunferencia de radio A-B. Uniremos el punto 1 con el punto B, la prolongación de esta recta, interceptará a la circunferencia anterior en el punto C, siendo 1-C el lado del estrellado, o diagonal del pentágono buscado. Por triangulación obtendremos los vértices restantes, que uniremos convenientemente, obteniendo así el pentágono buscado.
PENTÁGONO DADO EL LADO DEL ESTRELLADO (construcción exacta):
Operaremos como en el caso anterior, obteniendo en la media razón del lado del estrellado, el lado del convexo.
Como en el caso anterior, trazaremos la perpendicular en el extremo A del lado, con centro en A, trazaremos un arco de radio A-1, que determinará el punto B, sobre dicha perpendicular, y trazaremos la mediatriz del segmento A-B, que nos determinará punto medio C.
A continuación, con centro en C trazaremos una circunferencia de radio A-C. Uniendo el punto 1 con el punto C, esta recta determinará sobre la circunferencia anterior el punto 5, siendo el segmento 1-5, el lado del convexo del pentágono buscado.
Completaremos el trazado por triangulación, obteniendo así los vértices restantes, y uniéndolos convenientemente.
HEPTÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción aproximada):
Siendo el segmento 1-2 el lado del heptágono, comenzaremos trazando la mediatriz de dicho lado, y trazaremos la perpendicular en su extremo 2.
A continuación, en el extremo 1 construiremos el ángulo de 30º, que interceptará a la perpendicular trazada en el extremo 2, en el punto D, la distancia 1-D, es el radio de la circunferencia circunscrita al heptágono buscado, con centro en 1 y radio 1-D, trazamos un arco de circunferencia que interceptará a la mediatriz del lado 1-2 en el punto O, centro de la circunferencia circunscrita.
Solo resta construir dicha circunferencia circunscrita, y obtener los vértices restantes del heptágono, que convenientemente unidos, nos determinarán el polígono buscado.
OCTÓGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta):
Siendo el segmento 1-2 el lado del octógono, comenzaremos trazando un cuadrado de lado igual al lado del octógono dado.
A continuación, trazaremos la mediatriz del lado 1-2, y una diagonal del cuadrado construido anteriormente, ambas rectas se cortan en el punto C, centro del cuadrado. Con centro en C trazaremos la circunferencia circunscrita a dicho cuadrado, dicha circunferencia intercepta a la mediatriz del lado 1-2, en el punto O, centro de la circunferencia circunscrita al octógono buscado.
Solo resta construir dicha circunferencia circunscrita, y obtener los vértices restantes del octógono, que convenientemente unidos, nos determinarán el polígono buscado.
ENEÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción aproximada):
Dado el lado 1-2 del eneágono, construiremos un triángulo equilátero con dicho lado, hallando el tercer vértice en A. A continuación, trazaremos la mediatriz del lado A-2, de dicho triángulo, que pasará por el vértice 1, y la mediatriz del lado 1-2, que pasará por A. Con centro en A y radio A-B, trazaremos un arco, que determinará sobre la mediatriz anterior el punto O, que será el centro de la circunferencia circunscrita al eneágono buscado.
Solo resta trazar dicha circunferencia circunscrita, y determinar sobre ella los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el eneágono buscado.
DECÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta):
Dividiendo el lado del decágono en media y extrema razón, obtendremos el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado, con centro en 2 trazaremos un arco de radio 1-2, que nos determinará sobre la perpendicular anterior el punto A, trazaremos la mediatriz del segmento A-2, que nos determinará su punto medio B, y con centro en B trazaremos la circunferencia de radio B-A. Uniendo el punto 1 con el B, en su prolongación obtendremos el punto C sobre la circunferencia anterior, siendo 1-C, el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. A continuación, trazaremos la mediatriz del lado 1-2, y con centro en 1 un arco de radio 1-C, que determinará sobre la mediatriz anterior, el punto O, centro de la circunferencia circunscrita. Solo resta trazar dicha circunferencia circunscrita, y determinar sobre ella los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el decágono buscado.
DECÁGONO DADO EL LADO DEL ESTRELLADO (construcción exacta):
Dividiendo el lado del decágono en media y extrema razón, obtendremos el radio de la circunferencia circunscrita al polígono y el lado del convexo.
Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado, con centro en 2 trazaremos un arco de radio 2-A, que nos determinará sobre la perpendicular anterior el punto B, trazaremos la mediatriz del segmento B-2, que nos determinará su punto medio C, y con centro en C trazaremos la circunferencia de radio C-B.
A continuación, uniremos A con C, determinando el punto D, sobre la circunferencia anterior, siendo A-D el radio de la circunferencia circunscrita. Trazando un arco con centro en A, y radio A-D, determinaremos sobre el lado del estrellado dado el punto 1, resultando en 1-2 el lado del decágono convexo correspondiente. Con centro en 1 y 2 trazaremos dos arcos, de radio igual R, que nos determinarán en O, el centro de la circunferencia circunscrita al polígono. Solo resta trazar dicha circunferencia circunscrita, y determinar sobre ella los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el decágono buscado.
HEXÁGONO DADA LA DISTANCIA ENTRE CARAS (construcción exacta):
Comenzaremos trazando dos rectas paralelas, r y s, y trazaremos una perpendicular a ambas rectas, que nos determinará los puntos 1 y 3.
Con vértice en 1, construiremos un ángulo de 30º, que nos determinará sobre la recta s el punto 4, por dicho punto trazaremos una perpendicular que nos determinará el punto 6 sobre la recta r. En los segmentos 3-4 y 1-6, habremos obtenido el lado del hexágono buscado, la obtención de los dos vértices restantes, se hará por simple triangulación.
Solo nos resta unir todos los vértices, para obtener el hexágono buscado.
OCTÓGONO DADA LA DISTANCIA ENTRE CARAS (construcción exacta):
Dada la distancia entre caras d, con dicha distancia construiremos un cuadrado de vértices A, B, C y D, mediante el trazado de sus diagonales obtendremos su centro en O. Con centro en los cuatro vértices del cuadrado anterior, trazaremos arcos de radio igual a la mitad de la diagonal del cuadrado, arcos que pasarán por O, y que nos determinarán sobre los lados del cuadrado, los puntos 1, 2, 3, ... y 8, vértices del polígono.
Solo nos resta unir todos los vértices, para obtener el octógono buscado.
CONSTRUCCIÓN POR SEMEJANZA DE UN POLÍGONO REGULAR DADO EL LADO DEL CONVEXO:
Aunque en este caso, se trata de la construcción de un decágono, el procedimiento es aplicable a cualquier otro polígono.
Comenzaremos por la construcción de un decágono inscrito en una circunferencia cualquiera, por el procedimiento ya visto en el tema anterior, obteniendo en este caso, uno de sus lados en 1'-2'.
A partir del vértice 1', y sobre la prolongación del lado 1'-2', llevaremos la longitud del lado del decágono buscado, obteniendo el punto G. Prolongaremos los radios O-1' y O-2'. Por G trazaremos una paralela al radio O-1', que determinará sobre la prolongación del radio O-2', el punto 2, siendo este uno de los vértices del polígono buscado, y resultando la distancia O-2, el radio de la circunferencia circunscrita a dicho polígono. Trazaremos dicha circunferencia con centro en O, que interceptará a la prolongación del radio O-1' en el punto 1, otro vértice del polígono buscado, obteniendo en la cuerda 1-2 el lado del polígono buscado.
Solo resta determinar sobre la circunferencia circunscrita, los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el decágono buscado.
CONSTRUCCIÓN POR SEMEJANZA DE UN POLÍGONO REGULAR DADO EL LADO DEL ESTRELLADO:
Como en caso anterior, aunque se trata de la construcción de un decágono, el procedimiento es aplicable a cualquier otro polígono.
Procederemos, como en el caso anterior, construyendo un decágono inscrito en una circunferencia cualquiera, por el procedimiento ya visto en el tema anterior, obteniendo en este caso, uno de los lados del estrellado en 1'-4'.
A partir del vértice 1', y sobre la prolongación del lado 1'-4', llevaremos la longitud del lado del estrellado dado, obteniendo el punto G. Prolongaremos los radios O-1' y O-4'. Por G trazaremos una paralela al radio O-1', que determinará sobre la prolongación del radio O-4', el punto 4, siendo este uno de los vértices del polígono buscado, y resultando la distancia O-4, el radio de la circunferencia circunscrita a dicho polígono. Trazaremos dicha circunferencia con centro en O, que interceptará a la prolongación del radio O-1' en el punto 1, otro vértice del polígono buscado, obteniendo en la cuerda 1-4 el lado del estrellado buscado. Solo resta determinar sobre la circunferencia circunscrita, los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el decágono buscado.
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PENTÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta):
Dividiendo el lado del pentágono en media y extrema razón, obtendremos la diagonal del pentágono buscado, solo restará construirlo por simple triangulación.
Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado, con centro en 2 trazaremos un arco de radio 1-2, que nos determinará sobre la perpendicular anterior el punto A, y trazaremos la mediatriz del segmento A-2, que nos determinará su punto medio B.
A continuación, con centro en B, trazaremos la circunferencia de radio A-B. Uniremos el punto 1 con el punto B, la prolongación de esta recta, interceptará a la circunferencia anterior en el punto C, siendo 1-C el lado del estrellado, o diagonal del pentágono buscado. Por triangulación obtendremos los vértices restantes, que uniremos convenientemente, obteniendo así el pentágono buscado.
PENTÁGONO DADO EL LADO DEL ESTRELLADO (construcción exacta):
Operaremos como en el caso anterior, obteniendo en la media razón del lado del estrellado, el lado del convexo.
Como en el caso anterior, trazaremos la perpendicular en el extremo A del lado, con centro en A, trazaremos un arco de radio A-1, que determinará el punto B, sobre dicha perpendicular, y trazaremos la mediatriz del segmento A-B, que nos determinará punto medio C.
A continuación, con centro en C trazaremos una circunferencia de radio A-C. Uniendo el punto 1 con el punto C, esta recta determinará sobre la circunferencia anterior el punto 5, siendo el segmento 1-5, el lado del convexo del pentágono buscado.
Completaremos el trazado por triangulación, obteniendo así los vértices restantes, y uniéndolos convenientemente.
HEPTÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción aproximada):
Siendo el segmento 1-2 el lado del heptágono, comenzaremos trazando la mediatriz de dicho lado, y trazaremos la perpendicular en su extremo 2.
A continuación, en el extremo 1 construiremos el ángulo de 30º, que interceptará a la perpendicular trazada en el extremo 2, en el punto D, la distancia 1-D, es el radio de la circunferencia circunscrita al heptágono buscado, con centro en 1 y radio 1-D, trazamos un arco de circunferencia que interceptará a la mediatriz del lado 1-2 en el punto O, centro de la circunferencia circunscrita.
Solo resta construir dicha circunferencia circunscrita, y obtener los vértices restantes del heptágono, que convenientemente unidos, nos determinarán el polígono buscado.
OCTÓGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta):
Siendo el segmento 1-2 el lado del octógono, comenzaremos trazando un cuadrado de lado igual al lado del octógono dado.
A continuación, trazaremos la mediatriz del lado 1-2, y una diagonal del cuadrado construido anteriormente, ambas rectas se cortan en el punto C, centro del cuadrado. Con centro en C trazaremos la circunferencia circunscrita a dicho cuadrado, dicha circunferencia intercepta a la mediatriz del lado 1-2, en el punto O, centro de la circunferencia circunscrita al octógono buscado.
Solo resta construir dicha circunferencia circunscrita, y obtener los vértices restantes del octógono, que convenientemente unidos, nos determinarán el polígono buscado.
ENEÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción aproximada):
Dado el lado 1-2 del eneágono, construiremos un triángulo equilátero con dicho lado, hallando el tercer vértice en A. A continuación, trazaremos la mediatriz del lado A-2, de dicho triángulo, que pasará por el vértice 1, y la mediatriz del lado 1-2, que pasará por A. Con centro en A y radio A-B, trazaremos un arco, que determinará sobre la mediatriz anterior el punto O, que será el centro de la circunferencia circunscrita al eneágono buscado.
Solo resta trazar dicha circunferencia circunscrita, y determinar sobre ella los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el eneágono buscado.
DECÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta):
Dividiendo el lado del decágono en media y extrema razón, obtendremos el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado, con centro en 2 trazaremos un arco de radio 1-2, que nos determinará sobre la perpendicular anterior el punto A, trazaremos la mediatriz del segmento A-2, que nos determinará su punto medio B, y con centro en B trazaremos la circunferencia de radio B-A. Uniendo el punto 1 con el B, en su prolongación obtendremos el punto C sobre la circunferencia anterior, siendo 1-C, el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. A continuación, trazaremos la mediatriz del lado 1-2, y con centro en 1 un arco de radio 1-C, que determinará sobre la mediatriz anterior, el punto O, centro de la circunferencia circunscrita. Solo resta trazar dicha circunferencia circunscrita, y determinar sobre ella los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el decágono buscado.
DECÁGONO DADO EL LADO DEL ESTRELLADO (construcción exacta):
Dividiendo el lado del decágono en media y extrema razón, obtendremos el radio de la circunferencia circunscrita al polígono y el lado del convexo.
Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado, con centro en 2 trazaremos un arco de radio 2-A, que nos determinará sobre la perpendicular anterior el punto B, trazaremos la mediatriz del segmento B-2, que nos determinará su punto medio C, y con centro en C trazaremos la circunferencia de radio C-B.
A continuación, uniremos A con C, determinando el punto D, sobre la circunferencia anterior, siendo A-D el radio de la circunferencia circunscrita. Trazando un arco con centro en A, y radio A-D, determinaremos sobre el lado del estrellado dado el punto 1, resultando en 1-2 el lado del decágono convexo correspondiente. Con centro en 1 y 2 trazaremos dos arcos, de radio igual R, que nos determinarán en O, el centro de la circunferencia circunscrita al polígono. Solo resta trazar dicha circunferencia circunscrita, y determinar sobre ella los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el decágono buscado.
HEXÁGONO DADA LA DISTANCIA ENTRE CARAS (construcción exacta):
Comenzaremos trazando dos rectas paralelas, r y s, y trazaremos una perpendicular a ambas rectas, que nos determinará los puntos 1 y 3.
Con vértice en 1, construiremos un ángulo de 30º, que nos determinará sobre la recta s el punto 4, por dicho punto trazaremos una perpendicular que nos determinará el punto 6 sobre la recta r. En los segmentos 3-4 y 1-6, habremos obtenido el lado del hexágono buscado, la obtención de los dos vértices restantes, se hará por simple triangulación.
Solo nos resta unir todos los vértices, para obtener el hexágono buscado.
OCTÓGONO DADA LA DISTANCIA ENTRE CARAS (construcción exacta):
Dada la distancia entre caras d, con dicha distancia construiremos un cuadrado de vértices A, B, C y D, mediante el trazado de sus diagonales obtendremos su centro en O. Con centro en los cuatro vértices del cuadrado anterior, trazaremos arcos de radio igual a la mitad de la diagonal del cuadrado, arcos que pasarán por O, y que nos determinarán sobre los lados del cuadrado, los puntos 1, 2, 3, ... y 8, vértices del polígono.
Solo nos resta unir todos los vértices, para obtener el octógono buscado.
CONSTRUCCIÓN POR SEMEJANZA DE UN POLÍGONO REGULAR DADO EL LADO DEL CONVEXO:
Aunque en este caso, se trata de la construcción de un decágono, el procedimiento es aplicable a cualquier otro polígono.
Comenzaremos por la construcción de un decágono inscrito en una circunferencia cualquiera, por el procedimiento ya visto en el tema anterior, obteniendo en este caso, uno de sus lados en 1'-2'.
A partir del vértice 1', y sobre la prolongación del lado 1'-2', llevaremos la longitud del lado del decágono buscado, obteniendo el punto G. Prolongaremos los radios O-1' y O-2'. Por G trazaremos una paralela al radio O-1', que determinará sobre la prolongación del radio O-2', el punto 2, siendo este uno de los vértices del polígono buscado, y resultando la distancia O-2, el radio de la circunferencia circunscrita a dicho polígono. Trazaremos dicha circunferencia con centro en O, que interceptará a la prolongación del radio O-1' en el punto 1, otro vértice del polígono buscado, obteniendo en la cuerda 1-2 el lado del polígono buscado.
Solo resta determinar sobre la circunferencia circunscrita, los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el decágono buscado.
CONSTRUCCIÓN POR SEMEJANZA DE UN POLÍGONO REGULAR DADO EL LADO DEL ESTRELLADO:
Como en caso anterior, aunque se trata de la construcción de un decágono, el procedimiento es aplicable a cualquier otro polígono.
Procederemos, como en el caso anterior, construyendo un decágono inscrito en una circunferencia cualquiera, por el procedimiento ya visto en el tema anterior, obteniendo en este caso, uno de los lados del estrellado en 1'-4'.
A partir del vértice 1', y sobre la prolongación del lado 1'-4', llevaremos la longitud del lado del estrellado dado, obteniendo el punto G. Prolongaremos los radios O-1' y O-4'. Por G trazaremos una paralela al radio O-1', que determinará sobre la prolongación del radio O-4', el punto 4, siendo este uno de los vértices del polígono buscado, y resultando la distancia O-4, el radio de la circunferencia circunscrita a dicho polígono. Trazaremos dicha circunferencia con centro en O, que interceptará a la prolongación del radio O-1' en el punto 1, otro vértice del polígono buscado, obteniendo en la cuerda 1-4 el lado del estrellado buscado. Solo resta determinar sobre la circunferencia circunscrita, los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el decágono buscado.
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